1541. El tetraedro. RESOLUCIÓN

    La primera pregunta del examen desconcertó a más de uno, pero Pepe Chapuzas salió airoso... Se pedía comprobar que los tres puntos A(5,–2,–3), B(–1,4,–3) y C(–1,–2,3) eran vértices de un triángulo equilátero. Eso era fácil. Pero después se pedía calcular un punto D(x,y,z) para que A, B, C y D fueran vértices de un tetraedro regular... Lo primero que escribió Pepe fue:

    Hay dos soluciones. Una a cada lado del triángulo equilátero.

    Resuelve el ejercicio del examen.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó que el triángulo era efectivamente equilátero...

    Mire, profe. Los vectores  AB = (–6,6,0) ,  BC = (0,–6,6)  y  CA = (6,0,–6)  tienen el mismo módulo  √(36+36) = √72  por lo que los tres lados del triángulo ABC son iguales...

    El punto D equidista de A, B y C por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

dist(A,D) = dist(B,D)

dist(A,D) = dist(C,D)

dist(A,D) = √72

(x–5)² + (y+2)² + (z+3)² = (x+1)² + (y–4)² + (z+3)² 

(x–5)² + (y+2)² + (z+3)² = (x+1)² + (y+2)² + (z–3)² 

(x–5)² + (y+2)² + (z+3)² = 72

    Las dos primeras ecuaciones...

x² – 10x + 25 + y² + 4y + 4 = x² + 2x + 1 + y² – 8y + 16

x² – 10x + 25 + z² + 6z + 9 = x² + 2x + 1 + z² – 6z + 9

12y = 12x – 12               y = x – 1

12z = 12x – 24               z = x – 2

y sustituyendo en la tercera ecuación...    

(x–5)² + (x+1)² + (x+1)² = 72

x² – 10x + 25 + x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1= 72

3x² – 6x – 45 = 0

x² – 2x – 15 = 0

x = 5

x' = –3

    Las dos soluciones son  D(5,4,3)  y  D'(–3,–4,–5) .

    Bravo por Nina. Calcula ahora el volumen del tetraedro...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso lo tenía ya facilísimo...

    Profe, mire. El volumen del tetraedro es el un 1/6 del valor absoluto del producto mixto de los vectores AB, BC y CD. 

    El volumen era de 72 u².