miércoles, 21 de septiembre de 2016

670. Una criba parabólica. RESOLUCIÓN

    Estábamos representando en clase la gráfica de la función y = x2. Pepe Chapuzas escribió la siguiente tabla de valores enteros... (Se saltó los valores x = –1 y x = 1.)
    Dibujó en el cuaderno los ejes en negro, los puntos en rojo y la curva (el arco de parábola) en azul... Como acabó el primero y se aburría empezó a "guarrear" la gráfica... Empezó a unir con segmentos los puntos de la izquierda con los puntos de la derecha...


    Profe, mire. Estas cuerdas cortan al eje de ordenadas en números naturales que no son primos... ¡Es como la criba de Eratóstenes! Quedan 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

    Supongo que Pepe se imaginaba una tabla con infinitos valores de x (con todos los enteros menos el –1 y el 1) porque dibujó cuerdas que en teoría llegaban a puntos que no cabían en el papel...
    Demuestra que este método gráfico funciona como la criba de Eratóstenes, esto es, estas infinitas cuerdas tachan todos los naturales compuestos y a ningún número primo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tomó un punto de la izquierda (–n, n2) y un punto de la derecha (m, m2) de la parábola (los números n y m eran naturales mayores que 1) y calculó la ecuación de la recta que pasaba por ellos: y = (m2–n2)/(m+n) · (x+n) + n2 = (m–n) · (x+n) + n2. Después halló la intersección de esta recta con el eje de ordenadas: x = 0, y =  (m–n) · n + n2 = m·n, que es un natural compuesto, o sea, que no es primo (recuérdese que n>1 y m>1). Este cálculo aseguraba además que cualquier compuesto m·n es tachado por la cuerda que une los puntos (–n, n2) y  (m, m2) lo que prueba la validez de la criba de Pepe... Nina solo tenía una pega...

    Profe, ¿no habíamos quedado en que el 1 no era primo?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comentó que antiguamente se consideraba primo al número 1 pero...

    Mire, profe. Sabemos que un natural compuesto se puede descomponer de forma única como producto de primos ordenados de menor a mayor: así, 12 = 2·2·3. Pero si consideramos primo al 1, entonces la descomposición no es única: 12 = 1·2·2·3 = 1·1·2·2·3... ¡Los matemáticos son rigurosos! y el 1 fue expulsado de los primos como Plutón lo fue de los planetas por los astrónomos...

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