miércoles, 13 de abril de 2016

896. Los triángulos favoritos de Pepe Chapuzas. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Ya hemos visto en Dibujo que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados (en este orden) y que la recta que pasa por ellos se llama recta de Euler. (En los triángulos equiláteros los centros coinciden y no hay recta de Euler). También hemos probado que la distancia entre el baricentro y el ortocentro es el doble que la distancia entre el baricentro y el circuncentro...
     ¿Sabía que mis triángulos favoritos son los que tienen la recta de Euler paralela a uno de sus lados?
    Este es Pepe Chapuzas con sus ideas chapuceras... Le pedí a Pepe que cogiera uno de sus triángulos favoritos y que comprobara que las tangentes de sus ángulos estaban en progresión aritmética. Pepe se quedó boquiabierto...

    Demuestra que los triángulos isósceles son los únicos en los que la recta de Euler es perpendicular a un lado (el lado desigual). Demuestra que los triángulos isósceles no son los únicos en los que la recta de Euler pasa por un vértice.
    Demuestra que en un triángulo acutángulo y escaleno ABC, los valores de tgA, tgB y tgC están en progresión aritmética (en este orden) si y solo si la recta de Euler es paralela al lado AC. (Como paso intermedio demuestra que tgA·tgC=3). Demuestra que la recta de Euler en un triángulo rectángulo u obtusángulo no puede ser paralela a un lado.

SOLUCIÓN

    Los triángulos favoritos de Nina Guindilla son los pitagóricos... Parece ser que Nina y Pepe no tienen ningún triángulo favorito común :-( pero esa es otra historia...

    Mire, profe. Si tgA, tgB y tgC están en progresión aritmética, entonces tgB = (tgA+tgC)/2. Pero por otro lado tgB = tg(180º–A–C) = –tg(A+C) = (tgA+tgC)/(tgA·tgC–1). Por lo tanto tenemos que tgA·tgC–1 = 2, es decir, tgA·tgC = 3.
    En este triángulo la recta de Euler HG es paralela al segmento PM por lo que BP/HP = BM/GM = 3. Por otro lado tgA·tgC = BP/AP · BP/CP y como los ángulos amarillos son iguales (A) y los ángulos rosados también (C) tenemos que tgA·tgC = CP/HP · AP/HP. Multiplicando las dos igualdades tenemos tg2A·tg2C = BP/HP · BP/HP = 9, es decir, tgA·tgC =3.

    Nina Guindilla ha hecho sus deberes... La cuestión del "si y solo si" y lo referente a los triángulos isósceles, rectángulos y obtusángulos lo ha dejado Nina para ti... ¿Te animas? 

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. La cuestión del "si y solo si" se arregla haciendo la observación de que los argumentos y razonamientos de Nina son bidireccionales.
    La cuestión de los triángulos isósceles se puede resolver por reducción al absurdo... Si los tres lados son desiguales cada altura será paralela a la mediatriz correspondiente, y ambas cortarán a la recta de Euler, por lo que esta no puede ser perpendicular a ningún lado.
    Hay muchos triángulos con lados desiguales cuya recta de Euler pasa por un vértice. Por ejemplo, un triángulo rectángulo, cuyo ortocentro cae en el vértice del ángulo recto.
    En un triángulo rectángulo, tgA·tgC = 0 y en uno obtusángulo, tgA·tgC < 0... en vez de 3, por lo que la recta de Euler no es paralela a ningún lado...

    ¿Cuáles serán los triángulos favoritos de Yoyó Peluso?

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