viernes, 30 de mayo de 2014

196. Los triángulos favoritos de Pepe Chapuzas

    Profe, mire. Ya hemos visto en Dibujo que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados (en este orden) y que la recta que pasa por ellos se llama recta de Euler. (En los triángulos equilateros los centros coinciden y no hay recta de Euler). También hemos probado que la distancia entre el baricentro y el ortocentro es el doble que la distancia entre el baricentro y el circuncentro...
     ¿Sabía que mis triángulos favoritos son los que tienen la recta de Euler paralela a uno de sus lados?
    Este es Pepe Chapuzas con sus ideas chapuceras... Le pedí a Pepe que cogiera uno de sus triángulos favoritos y que comprobara que las tangentes de sus ángulos estaban en progresión aritmética. Pepe se quedó boquiabierto...

    Demuestra que los triángulos isósceles son los únicos en los que la recta de Euler es perpendicular a un lado (el lado desigual). Demuestra que los triángulos isósceles son los únicos en los que la recta de Euler pasa por un vértice (el del ángulo desigual).
    Demuestra que en un triángulo acutángulo y escaleno ABC, los valores de tgA, tgB y tgC están en progresión aritmética (en este orden) si y solo si la recta de Euler es paralela al lado AC. (Como paso intermedio demuestra que tgA·tgC=3). Demuestra que la recta de Euler en un triángulo rectángulo u obtusángulo no puede ser paralela a un lado.

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